01圆周角定理円周角の定理
同一段弧（或相等的弧）所对的圆周角都相等，并且等于这段弧所对圆心角的一半。
易错：两个点必须在弦的同一侧才是相等。异侧时是互补——那正好是下面第 03 条。
地图看到什么 → 想到什么
这一页真正的分水岭不是「记不记得定理」，而是「看到条件能不能立刻想到它」。 下面每一行都是一条触发规则。点任意一行跳到对应的定理。
题目里出现
立刻用
然后通常是
角平分线 + 外接圆
→
弧中点：BD = CD
接托勒密，或找一对相似 (1)③ (2)② (3)① (7)②
切线 + 过切点的弦
→
弦切角 = 圆周角
把切线条件换成等角，凑相似 (1)① (5)① (6)①
线段的乘积，或圆外一点引线
→
方幂定理（三形态）
列出乘积等式，常化成一元二次 (1)④ (3)② (4)② (5)①
直角三角形
→
斜边就是外接圆直径
R = 斜边 ÷ 2，圆心在斜边中点 (3) (5) 例题
圆内接四边形，已知四条线段求第五条
→
托勒密定理
一步得出未知线段 (1)③ (4)
要求外接圆半径
→
正弦定理 2R = a / sin A
缺 sin 就先用余弦定理求 cos (2)③ (4)③
只给了边长的「比」加一个具体长度
→
设比例系数 k，写余弦定理
在两个三角形里各写一次，联立消去 cos (2)③
要求两个三角形的面积比
→
先判：等高？共角？相似？
底比 / 边积比 / 相似比的平方 (3)③ (6)②
两条角平分线的交点
→
那是内心 I
配上外接圆立刻想鸡爪：DB = DC = DI (3)③
「延长线」三个字
→
外角 = 内对角
或者方幂定理的圆外形态 (1)④ (6) (7)
第一部分定理图鉴 · 13 个
每张卡都能拖。面板里带 ✓ 的那一行是定理本身——你怎么拖，它都必须打勾。 按「讲解」可以一步步看它为什么成立。
02直径所对的圆周角是直角半円の弧に対する円周角
若 BC 是直径，则圆上任意点 A 满足 ∠BAC = 90°。逆命题同样成立：若 ∠BAC = 90°，则 BC 是 △ABC 外接圆的直径。
考场用法：逆命题比正命题值钱。看到「直角三角形」就等于免费拿到了外接圆——圆心在斜边中点，半径是斜边的一半。
03圆内接四边形円に内接する四角形
圆内接四边形的一组对角互补（和为 180°）；把一条边延长，得到的外角等于它的内对角。逆命题成立，可用来证明四点共圆。
为什么：两个对角所对的两段弧合起来正好是整个圆，圆周角是圆心角的一半，所以两角之和是 360° ÷ 2 = 180°。
04弦切角定理接弦定理（接線と弦の作る角）
切线与过切点的弦所夹的角，等于这条弦在另一段弧上所对的圆周角。
怎么用：它是「切线」这个条件唯一的翻译方式。题目一给切线，就在切点处把弦切角换成圆周角——换完几乎总能立刻凑出一对相似三角形。
05弧 · 弦 · 圆周角 三者等价弧と弦と円周角
在同一个圆里：等弧 ⇔ 等弦 ⇔ 等圆周角。定量地说，弦长 = 2R · sin(它所对的圆周角)。
注意方向：「等弦 ⇒ 等弧」在同一个圆里才成立，且弦相等对应的是两段弧分别相等（大弧配大弧）。跨圆比较需要半径也相同。
06角平分线与弧中点角の二等分線と弧の中点
△ABC 中 ∠A 的平分线交外接圆于 D，则 D 是弧 BC 的中点，因而 BD = CD。
同一条线在 BC 上还留下 BF : FC = AB : AC。
这是整份卷子的主线。七道题里有四道的第一步就是它。看到「角平分线与外接圆的交点」，先把 BD = CD 写在草稿纸上，再去想要什么。
07鸡爪定理トリリウムの定理 / Incenter–Excenter Lemma
D 是弧 BC 的中点，I 是 △ABC 的内心，则 DB = DC = DI。也就是说 B、I、C 三点在以 D 为圆心的同一个圆上。
为什么：∠DBI = ∠DBC + ∠CBI = ∠DAC + ∠IBA（同弧 + 平分），而 ∠DIB 是 △ABI 的外角 = ∠IAB + ∠IBA。
两者相等，所以 △DBI 等腰，DB = DI。
说明：日本高中教科书通常不给它单独命名，考场上是现推的；但记住结论能省很多时间。
08角平分线定理角の二等分線の定理
△ABC 中 ∠A 的平分线交 BC 于 F，则 BF : FC = AB : AC。（外角平分线交 BC 的延长线于 F′，同样有 BF′ : F′C = AB : AC，只是变成外分。）
配套要记的一条：角平分线长满足 AF² = AB · AC − BF · FC。 它不是天上掉的——由 △ABF ∽ △ADC（D 是平分线与外接圆的交点）得 AB · AC = AF · AD， 再用方幂 AF · FD = BF · FC 相减即可。真题 (3)② 就是用它一步求出 AP。
09方幂定理 · 三种形态方べきの定理
过定点 P 的任意一条直线与圆交于两点，则「P 到两交点的距离之积」是同一个常数（点 P 对该圆的幂）。
三种形态只是同一件事的三张脸。
易错：点在圆外时，每条割线上取的是「到近交点」和「到远交点」两段，不是中间那一段。写错这一步是这类题最常见的失分点。
10相似三角形相似な三角形（AA）
两组对应角分别相等（AA）即可判定相似；随之对应边成比例，面积比 = 相似比的平方。
这张图就是真题 (1)② 的原型。在圆里找相似，等角只有三个来源：同弧圆周角、弦切角、以及对顶角／公共角。先扫这三处，几乎必中。
11面积比三件套三角形の面積比
求面积比之前先分类：① 等高 → 面积比 = 底边比；② 共角 → 面积比 = 夹角两边的乘积之比；
③ 相似 → 面积比 = 相似比的平方。
易错：看到两个三角形就往「平方」上套是错的——只有相似才平方。共角型不需要相似，等高型也不需要。
12托勒密定理トレミーの定理
圆内接四边形 ABCD 中，AC · BD = AB · CD + BC · AD：两条对角线之积，等于两组对边之积的和。
什么时候用：已知四边形里的四条线段、要求第五条，它一步到位。 顺带一提：对一般四边形是 AC · BD ≤ AB · CD + BC · AD，取等号当且仅当四点共圆——所以它也能反过来当共圆判据。
13正弦定理 · 余弦定理正弦定理・余弦定理
正弦定理：a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R（R 是外接圆半径）。
余弦定理：a² = b² + c² − 2bc · cos A。
余弦定理：a² = b² + c² − 2bc · cos A。
固定套路：求外接圆半径 → 找一条边和它所对的角 → 缺 sin 就先用余弦定理求 cos 再转 sin。 本卷 (2)③ 与 (4)③ 都是这么收尾的。
第二部分真题精讲 · 一整页
条件用中文转述，图形与解答为际和原创。每题按「讲解」逐步展开，图上会同步高亮当前用到的线和角； 每一步末尾标了它用的是哪个定理，点回去就能重看那张可拖动的卡。
关于拖动：这些图没有可拖的点——题设数据已经把图形完全确定了（相差一个全等），没有剩下的自由度。 想看「换个形状还成不成立」，去对应的定理卡拖。
例题直径 + 角平分线
△ABC 内接于以 BC 为直径的圆 O。∠BAC 的平分线交 BC 于 D、交圆 O 于 E；
从 A 向 BC 作垂线，垂足为 H。已知 AB = 16、AC = 12。
求：(1) AH 与 HC；(2) AE 与 AD。
求：(1) AH 与 HC；(2) AE 与 AD。
答案：AH = 48/5，HC = 36/5；AE = 14√2，AD = 48√2 ⁄ 7。
要点：直径 ⇒ 直角 ⇒ 勾股求出 BC；垂足 H 带来一组相似；平分线同时给出「分点比」和「弧中点」两件武器。
(1)切线 · 弦切角 · 托勒密
△ABC 外接于圆 O，AB = 6、BC = 5、CA = 4。∠A 的平分线交圆 O 于 D、交 BC 于 F。
过点 D 作圆 O 的切线，与 BA 的延长线交于 E。
求：① 设 ∠BAC = x，求 ∠BDE；② 与 △ACF 相似的三角形；③ 设 BD = a，求 AD；④ 求 DE。
求：① 设 ∠BAC = x，求 ∠BDE；② 与 △ACF 相似的三角形；③ 设 BD = a，求 AD；④ 求 DE。
答案：① ∠BDE = ½x（选项 ウ） ② △ADB 与 △BDF（选项 エ） ③ AD = 2a（选项 イ） ④ DE = 4（选项 エ）
(2)比例 · 相似 · 外接圆半径
圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于 E。已知 AB : BE : BC = 4 : 3 : 8，BD 平分 ∠ABC，AE = 6 cm。
求：① CE；② CD；③ 这个圆的半径。
求：① CE；② CD；③ 这个圆的半径。
答案：① CE = 12 cm ② CD = 16 cm ③ R = 128√7 ⁄ 35 ≈ 9.68 cm
要点：①②只用比例和相似，③才需要动三角。注意 ③ 里的 θ 是 ∠ABD = ∠DBC，而 CD 在 △BCD 中恰好是 θ 的对边——这是能用正弦定理收尾的原因。
(3)直角三角形 · 内心 · 面积
直角三角形 ABC 中 AB = 28、BC = 35、CA = 21。∠A 的平分线与边 BC、与 △ABC 的外接圆分别交于 P、Q；
∠C 的平分线与线段 AP 交于 R。
求：① BP 与 CQ；② AP；③ △CPR 的面积。
求：① BP 与 CQ；② AP；③ △CPR 的面积。
答案：① BP = 20，CQ = 35√2 ⁄ 2 ② AP = 12√2 ③ △CPR 面积 = 105/2 = 52.5
要点：③ 的全部难度就在认出「R 是内心」这一件事。认出来之后，高就是内切圆半径 r = 7，底是 CP = 15，一乘一除就完了。
(4)托勒密开路的圆内接四边形
圆 O 内接四边形 ABCD 中，AB = AD = 6、BC = 2√6、CD = 3√2 − √6、AC = 3√2 + √6。
对角线 AC 与 BD 交于 E。
求：① DE；② BE；③ 圆 O 的半径。
求：① DE；② BE；③ 圆 O 的半径。
答案：① DE = 12 − 6√3 ≈ 1.61 ② BE = 6√3 − 6 ≈ 4.39 ③ R = 2√3 ≈ 3.46
要点：那些带根号的边长是设计好的——托勒密一算，BD 恰好等于 6，于是 △ABD 是正三角形，后面全都变简单。先算 BD 是这题唯一的钥匙。
(5)切线 · 相似 · 直角
半径 15 cm 的圆与直线 AD 相切于点 D。从点 A 作一条经过圆心的直线，与圆交于 B、C（B 离 A 较近）。
∠BAD 的平分线与 BD、CD 分别交于 E、F。已知 BD : CD = 1 : 2。
求：① AB；② CF : FD（说明理由）；③ △DEF 的面积。
求：① AB；② CF : FD（说明理由）；③ △DEF 的面积。
答案：① AB = 10 cm ② CF : FD = 2 : 1 ③ △DEF 面积 = 40 cm²
② 的理由：因为 B 在线段 AC 上，∠BAD 与 ∠CAD 其实是同一个角，所以 AF 就是 △ACD 中 ∠A 的平分线，由角平分线定理 CF : FD = AC : AD = 40 : 20 = 2 : 1。
要点：③ 之所以干净，是因为 ∠EDF 就是 ∠BDC = 90°（BC 过圆心是直径），而 DE 与 DF 又恰好都等于 4√5。
(6)证明题 + 全等带来的面积比
△ABP 内接于圆 O。在边 BP 的延长线上取点 Q 使 AP = QP。过 P 的切线与 AQ 交于 S；
∠APB 的平分线与 AB 交于 R。
求：① 证明 ∠ARP = ∠PSQ；② 当 AR = 7、BR = 9、PA = 14 时，求 QB、PR ⁄ AS，以及 △PQS : △PAS : △PAR : △PRB。
求：① 证明 ∠ARP = ∠PSQ；② 当 AR = 7、BR = 9、PA = 14 时，求 QB、PR ⁄ AS，以及 △PQS : △PAS : △PAR : △PRB。
答案：② QB = 32，PR ⁄ AS = 9/7，面积比 = 63 : 49 : 63 : 81
要点：① 证完之后不要停——∠ARP = ∠PSQ 加上 PQ = PA，直接给出 △QPS ≌ △PAR（全等，不只是相似）。
于是 PS = AR = 7、QS = PR，第 ② 问的三个空全部由此展开。这是全卷设计得最漂亮的一题。
(7)等腰三角形 · 相似 · 解方程
AB = AC 的等腰三角形 ABC 中，∠B 的平分线与 AC 交于 P、与 △ABC 的外接圆交于 Q；
AQ 的延长线与 BC 的延长线交于 R。已知 AR = 30 cm、BR = 25 cm。
求：① 设 ∠BAC = a°，用 a 表示 ∠ARB；② QR 是 AB 的几倍；③ AB 的长。
求：① 设 ∠BAC = a°，用 a 表示 ∠ARB；② QR 是 AB 的几倍；③ AB 的长。
答案：① ∠ARB = (45 − a⁄4)° ② 5/6 倍 ③ AB = 20 cm（此时 BC = 5、QR = 50/3）
要点：③ 的突破口是先证 CR = CA（△ACR 等腰）。这样未知数只剩一个：设 AB = c，则 CR = c、BC = 25 − c，
再抓住「∠ABC 与 ∠ABR 是同一个角」，在两个三角形里各写一次余弦定理，就得到 c² + 25c − 900 = 0。
第三部分自测 · 该用哪个定理
14 道判断题，练的不是计算，是「看到条件的第一反应」。计算要靠手写才有效，但选对定理这件事， 在脑子里练就够了——而它恰恰是这类题真正的瓶颈。
免费、开放，给所有人
这是际和科技的公益项目之一。我们做工程与 AI，也相信把一件事讲清楚本身就有价值。 这一页的每个定理演示都跑在同一套自研几何内核上，页面上出现的每一个数值结论， 都由程序按题设条件独立构型验算过。
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